SONG ZONGYE 个人博客

MATHEMATICS / QUICK REFERENCE

数竞知识库

数学类 · 24 个常用知识点

按数学专业类初赛三科整理的核心速查，非完整考试大纲。第十八届通知列出的三科占比分别约为 50%、35%、15%。查看高校发布的赛事通知 ↗

24 个知识点 · 点击标题展开

极限、微积分、级数与一致收敛

数学分析

01极限与实数完备性夹逼、单调有界、Cauchy 准则；子列与紧致性。
xn→a  ⟺  ∀ε>0, ∃N, n>N⇒∣xn−a∣<εx_n\to a\iff\forall\varepsilon>0,\ \exists N,\ n>N\Rightarrow |x_n-a|<\varepsilon
lim⁡x→0sin⁡xx=1,lim⁡x→0ex−1x=1\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1,\quad\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1
适用条件
实数列单调且有界才保证收敛；函数极限需核对左右极限。
易错提醒
等价无穷小一般用于乘除，不能在相消的加减式中直接替换。
解题切入点
递推数列：先证明有界与单调，再把极限代入递推式；不要只解极限方程。
02连续、紧区间与介值连续函数的有界性、最值、介值性与一致连续。
f∈C([a,b])⇒∃x∗,x∗∈[a,b],f(x∗)≤f(x)≤f(x∗)f\in C([a,b])\Rightarrow\exists x_*,x^*\in[a,b],\quad f(x_*)\le f(x)\le f(x^*)
f(a)f(b)<0⇒∃ξ∈(a,b),f(ξ)=0f(a)f(b)<0\Rightarrow\exists\xi\in(a,b),\quad f(\xi)=0
适用条件
介值定理需连续；闭区间连续可推出一致连续。
易错提醒
开区间上的连续函数未必有界、取得最值或一致连续。
解题切入点
证明方程有根：构造连续函数，再寻找函数值异号的两个点。
03微分中值定理Rolle、Lagrange、Cauchy 中值定理与辅助函数。
f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a),ξ∈(a,b)f(b)-f(a)=f^\prime(\xi)(b-a),\quad \xi\in(a,b)
[f(b)−f(a)]g′(ξ)=[g(b)−g(a)]f′(ξ)[f(b)-f(a)]g^\prime(\xi)=[g(b)-g(a)]f^\prime(\xi)
适用条件
f（以及 Cauchy 定理中的 g）在闭区间连续、开区间可导；Rolle 另需两端函数值相等。
易错提醒
导数存在不意味着导数连续；使用商形式时需检查分母非零。
解题切入点
含指数、积分或线性项的中值问题，常通过构造乘积或差函数应用 Rolle。
04Taylor 展开与余项渐近展开、极限主项、局部估计。
f(x)=∑k=0nf(k)(a)k!(x−a)k+o((x−a)n)f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k+o((x-a)^n)
f(x)=∑k=0nf(k)(a)k!(x−a)k+f(n+1)(ξ)(n+1)!(x−a)n+1f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k+\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}
适用条件
例如 f 在 a 的邻域为 Cⁿ，可用 Peano 余项；为 Cⁿ⁺¹ 时可用 Lagrange 余项。
易错提醒
相消后必须保留到第一个不为零的阶；余项阶数也要参与除法。
解题切入点
sin x=x−x³/6+o(x³)，所以 (sin x−x)/x³ → −1/6。
05L’Hôpital 法则0/0、∞/∞ 型极限；增长阶比较。
lim⁡f(x)g(x)=lim⁡f′(x)g′(x)\lim\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}
适用条件
先确认未定式类型、去心邻域可导、g′ 不为零，且导数商的极限存在（可为无穷）。
易错提醒
不是对所有商式都能分别求导；导数商极限不存在也不能反推原极限不存在。
解题切入点
幂指型先取对数；∞−∞ 常先通分或有理化。
06定积分与积分技巧换元、分部积分、对称性、积分均值与估计。
∫abuv′ dx=[uv]ab−∫abu′v dx\int_a^b u v^\prime\,dx=[uv]_a^b-\int_a^b u^\prime v\,dx
ddx∫axf(t) dt=f(x)\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt=f(x)
适用条件
微积分基本定理的上述导数式在 f 连续处成立；换元须保持区间与微分一致。
易错提醒
变上限积分求导时注意复合上限的链式法则。
解题切入点
对称区间先判奇偶；含 x 与 a−x 的积分可尝试两式相加。
07反常积分与敛散无穷区间、奇点、比较判别、绝对与条件收敛。
∫1∞x−p dx<∞  ⟺  p>1\int_1^\infty x^{-p}\,dx<\infty\iff p>1
∫01x−p dx<∞  ⟺  p<1\int_0^1 x^{-p}\,dx<\infty\iff p<1
适用条件
有多个奇点时，必须拆开分别考察；积分上下限的极限独立存在。
易错提醒
Cauchy 主值存在不等于普通反常积分收敛。
解题切入点
先找主导奇性，用极限比较；振荡型可考虑 Dirichlet 判别。
08数项级数正项比较、比值、根值；交错级数与绝对收敛。
∑an 收敛⇒an→0\sum a_n\text{ 收敛}\Rightarrow a_n\to0
L=lim sup⁡n→∞∣an∣n:L<1⇒绝对收敛, L>1⇒发散L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}:\quad L<1\Rightarrow\text{绝对收敛},\ L>1\Rightarrow\text{发散}
适用条件
Leibniz 判别需正项幅度最终单调递减且趋于零；绝对收敛可推出收敛。
易错提醒
通项趋于零只是必要条件；比值或根值等于 1 时不能判断。
解题切入点
含阶乘常用比值，含 n 次幂常用根值，交错型先检查幅度。
09幂级数与一致收敛收敛半径、端点、逐项积分与逐项求导。
1R=lim sup⁡n→∞∣an∣1/n\frac1R=\limsup_{n\to\infty}|a_n|^{1/n}
sup⁡x∈E∣fn(x)−f(x)∣→0\sup_{x\in E}|f_n(x)-f(x)|\to0
适用条件
幂级数在收敛区间内部的紧子区间上一致收敛；各端点另判。连续函数列一致收敛时极限连续。
易错提醒
逐点收敛不能直接交换极限与积分/导数；一致收敛本身不保证导数可交换。
解题切入点
Weierstrass M 判别：|uₙ(x)|≤Mₙ 且 ΣMₙ 收敛，可证函数项级数一致绝对收敛。
10多元微分与极值全微分、方向导数、Hessian、约束极值。
df=∑i∂f∂xidxidf=\sum_i\frac{\partial f}{\partial x_i}dx_i
∇f(x)=λ∇g(x)\nabla f(x)=\lambda\nabla g(x)
适用条件
偏导在邻域连续是可微的充分条件；单约束 Lagrange 乘子法需约束梯度非零。
易错提醒
偏导都存在不一定可微；Hessian 半正定/半负定时二阶判别通常不能定论。
解题切入点
先找驻点，再查 Hessian；闭有界区域的全局极值还要检查边界。
11重积分与变量替换积分区域、换序、极坐标、Jacobian。
∬Df(x,y) dxdy=∬D∗f(x(u,v),y(u,v))∣∂(x,y)∂(u,v)∣ dudv\iint_D f(x,y)\,dxdy=\iint_{D^*}f(x(u,v),y(u,v))\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|\,dudv
x=rcos⁡θ, y=rsin⁡θ,dxdy=r drdθx=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta,\quad dxdy=r\,drd\theta
适用条件
换元要求足够光滑、在适当区域一一对应且 Jacobian 非零；奇异点需另处理。
易错提醒
Jacobian 取绝对值；换序必须重新描述区域。
解题切入点
遇圆域或 x²+y² 优先考虑极坐标；先画区域再计算。

多项式、线性空间、矩阵与二次型

高等代数

01多项式、重根与整除带余除法、最大公因式、因式分解、重根。
(x−a)m∣f(x)  ⟺  f(a)=f′(a)=⋯=f(m−1)(a)=0(x-a)^m\mid f(x)\iff f(a)=f^\prime(a)=\cdots=f^{(m-1)}(a)=0
f 有重根  ⟺  gcd⁡(f,f′)≠1f\text{ 有重根}\iff\gcd(f,f^\prime)\ne1
适用条件
上述导数判据取特征为零的数域；重根指在相应分裂域中讨论。
易错提醒
在实数域不可约的二次式，在复数域可能分裂；先说清数域。
解题切入点
用带余除法求余式，再用根值或导数条件确定系数。
02行列式与矩阵运算初等变换、分块矩阵、秩与可逆性。
det⁡(AB)=det⁡Adet⁡B,det⁡AT=det⁡A\det(AB)=\det A\det B,\quad \det A^T=\det A
det⁡(AB0D)=det⁡Adet⁡D\det\begin{pmatrix}A&B\\0&D\end{pmatrix}=\det A\det D
适用条件
乘法公式要求同阶方阵；分块三角式中 A、D 为方阵。
易错提醒
一般 det(A+B)≠det A+det B；AB 通常不等于 BA。
解题切入点
低秩扰动、特殊行列结构优先做保持结构的初等变换。
03矩阵秩与线性方程组解的存在性、自由变量、基础解系。
Ax=b 有解  ⟺  r(A)=r([A∣b])Ax=b\text{ 有解}\iff r(A)=r([A\mid b])
dim⁡ker⁡A=n−r(A),x=x0+z, z∈ker⁡A\dim\ker A=n-r(A),\qquad x=x_0+z,\ z\in\ker A
适用条件
A 有 n 列；非齐次通解公式要求先存在一个特解 x₀。
易错提醒
有解不代表唯一；唯一解还需秩等于未知量个数。
解题切入点
先行化简增广矩阵，再分参数讨论主元是否消失。
04线性空间、基与维数线性无关、生成、子空间、直和与维数。
dim⁡(U+V)=dim⁡U+dim⁡V−dim⁡(U∩V)\dim(U+V)=\dim U+\dim V-\dim(U\cap V)
V=U⊕W  ⟺  V=U+W 且 U∩W={0}V=U\oplus W\iff V=U+W\text{ 且 }U\cap W=\{0\}
适用条件
维数公式用于有限维空间；换基矩阵须由两组基的坐标关系确定。
易错提醒
两组基拼接不一定仍线性无关；子空间的并集通常不是子空间。
解题切入点
求交空间：把同一向量写成两组基的线性组合，转化成齐次方程。
05线性映射与相似核、像、换基矩阵与不变量。
dim⁡ker⁡T+dim⁡im⁡T=dim⁡V\dim\ker T+\dim\operatorname{im}T=\dim V
B=P−1APB=P^{-1}AP
适用条件
相似描述同一线性算子在不同基下的矩阵。P 的列取新基在旧基中的坐标。
易错提醒
矩阵等价、相似和合同是不同关系，不能混用。
解题切入点
相似保持迹、行列式、特征多项式、最小多项式和各次幂的秩。
06特征值与对角化特征空间、代数重数、几何重数、谱分解。
χA(λ)=det⁡(λI−A)\chi_A(\lambda)=\det(\lambda I-A)
A 可对角化  ⟺  存在 n 个线性无关特征向量A\text{ 可对角化}\iff\text{存在 }n\text{ 个线性无关特征向量}
适用条件
在所选数域上对角化；不同特征值对应的特征向量线性无关。
易错提醒
有 n 个特征值（计重数）不等于可对角化；重根处要算特征空间维数。
解题切入点
实对称矩阵总可被实正交矩阵对角化，可用于二次型与最值。
07Cayley–Hamilton 与最小多项式矩阵多项式、高次幂与可对角化判据。
χA(A)=0,mA(x)∣χA(x)\chi_A(A)=0,\quad m_A(x)\mid\chi_A(x)
A 可对角化  ⟺  mA 在该域分裂且无重根A\text{ 可对角化}\iff m_A\text{ 在该域分裂且无重根}
适用条件
最小多项式是使 m(A)=0 的最低次数首一多项式。
易错提醒
矩阵代入多项式合法，但不能随意把行列式中的标量变量换成矩阵后按普通块运算推导。
解题切入点
计算 Aⁿ 时可先将 xⁿ 对最小多项式取余。
08二次型与正定性合同变换、配方法、惯性指数与 Sylvester 判据。
q(x)=xTAx,A=ATq(x)=x^TAx,\quad A=A^T
A≻0  ⟺  Δ1>0,…,Δn>0A\succ0\iff \Delta_1>0,\ldots,\Delta_n>0
适用条件
此处 A 为实对称矩阵，Δₖ 为前 k 阶顺序主子式。
易错提醒
正半定不能只检查顺序主子式非负；需所有主子式非负或使用特征值等判据。
解题切入点
先对称化二次型矩阵，再选配方法或正交变换；最值问题优先用谱。
09内积、正交与投影Gram–Schmidt、Cauchy–Schwarz、最小二乘。
∣⟨u,v⟩∣2≤⟨u,u⟩⟨v,v⟩|\langle u,v\rangle|^2\le\langle u,u\rangle\langle v,v\rangle
proj⁡Ux=∑i=1k⟨x,ei⟩ei\operatorname{proj}_U x=\sum_{i=1}^k\langle x,e_i\rangle e_i
适用条件
投影式中 eᵢ 是 U 的标准正交基；这里使用实内积约定。
易错提醒
Gram–Schmidt 需要输入线性无关；最小二乘正规方程 AᵀAx=Aᵀb 的唯一解要求 A 列满秩。
解题切入点
距离最小常转化成残差与目标子空间正交。

向量、直线平面、二次曲线与曲面

解析几何

01空间向量与混合积点积、叉积、共线共面、体积与方向。
u⋅v=∣u∣∣v∣cos⁡θu\cdot v=|u||v|\cos\theta
Vtetra=16∣u⋅(v×w)∣V_{\mathrm{tetra}}=\frac16|u\cdot(v\times w)|
适用条件
叉积与混合积在三维欧氏空间使用；夹角式中两向量非零。
易错提醒
混合积符号依赖向量顺序；体积须取绝对值。
解题切入点
共面判据 u·(v×w)=0；平行关系可用叉积为零判断。
02直线、平面与距离参数方程、法向量、夹角与异面直线。
d(P,π)=∣n⋅(P−P0)∣∥n∥d(P,\pi)=\frac{|n\cdot(P-P_0)|}{\|n\|}
d(l1,l2)=∣(P2−P1)⋅(u×v)∣∥u×v∥d(l_1,l_2)=\frac{|(P_2-P_1)\cdot(u\times v)|}{\|u\times v\|}
适用条件
平面法向量 n≠0；第二式用于方向 u、v 不平行的两直线。
易错提醒
平行直线不能用第二式；此时用点到直线距离。
解题切入点
直线夹角看方向向量，平面夹角看法向量，直线与平面角要取余角。
03二次曲线与坐标变换平移、旋转、中心、主轴与退化判别。
q(x)=xTAx+2bTx+c,A=ATq(x)=x^TAx+2b^Tx+c,\quad A=A^T
Ax0=−b⇒q(x0+y)=yTAy+c+bTx0Ax_0=-b\Rightarrow q(x_0+y)=y^TAy+c+b^Tx_0
适用条件
平移消去一次项的前提是中心方程可解；随后用正交变换对角化实对称 A。
易错提醒
仅看二次项判别式不足以区分空集、点、直线等退化情形。
解题切入点
整理成矩阵形式，先求中心，再看特征值符号及常数项。
04二次曲面与截面椭球面、双曲面、抛物面；截面法与标准化。
x2a2+y2b2+z2c2=1\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1
x2a2+y2b2−z2c2=1\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1
适用条件
a、b、c 均为正数；上两式分别为椭球面与单叶双曲面。
易错提醒
右端号与负项位置影响曲面类型；标准化时必须保留全部项。
解题切入点
固定一个坐标观察截线，并检查中心、对称轴、渐近锥与退化情况。